สาระดีๆ มีให้อ่านทุกวัน

สมการเชิงเส้น คือสมการที่แต่ละพจน์มีเพียงค่าคงตัว หรือเป็นผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรยกกำลังหนึ่ง ซึ่งจะมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0 หรือ 1 สมการเหล่านี้เรียกว่า “เชิงเส้น” เนื่องจากสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็นเส้นตรง รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร x และ y คือ

y = mx + b \!

โดยที่ m คือค่าคงตัวที่แสดงความชันหรือเกรเดียนต์ของเส้นตรง และพจน์ b แสดงจุดที่เส้นตรงนี้ตัดแกน y สำหรับสมการที่มีพจน์ x2y1/3xy ฯลฯ ที่มีดีกรีมากกว่าหนึ่งไม่เรียกว่าเป็นสมการเชิงเส้น

ตัวอย่าง

สมการเหล่านี้ล้วนเป็นสมการเชิงเส้น

x + 2y = 10 \!
3a + 472b = 10b + 37 \!
2x + y -5 = -7x + 4y +3 \!

รูปแบบของสมการเชิงเส้นในสองมิติ

สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน อย่างเช่นตัวอย่างข้างบน สามารถเขียนใหม่โดยใช้กฎเกณฑ์ของพีชคณิตมูลฐานให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น ในสิ่งที่จะอธิบายต่อไปนี้ อักษรตัวใหญ่ใช้แทนค่าคงตัว (ที่ไม่ระบุจำนวน) ในขณะที่ xและ y คือตัวแปร

รูปแบบทั่วไป

Ax + By + C = 0 \!

เมื่อ A กับ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน สมการในรูปแบบนี้มักเขียนให้ A ≥ 0 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ กราฟของสมการจะเป็นเส้นตรง และทุกๆ เส้นตรงสามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบข้างต้นนี้ได้ เมื่อ A ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน x จะอยู่ที่ระยะ −C/A และเมื่อ B ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน y จะอยู่ที่ระยะ −C/B ส่วนความชันของเส้นตรงนี้มีค่าเท่ากับ −A/B

อ่านต่อคลิก….Read (ด้านล่างนี้เลย)

รูปแบบมาตรฐาน

Ax + By = C \!

เมื่อ A และ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และทั้ง ABC จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่มีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 และมักเขียนให้ A ≥ 0 เพื่อความสะดวกเช่นกัน รูปแบบมาตรฐานนี้สามารถแปลงให้เป็นรูปแบบทั่วไปได้ไม่ยากนั

รูปแบบความชันและระยะตัดแกน

y = mx + b \!

เมื่อ m แทนความชันของเส้นตรง และ b คือระยะตัดแกน y ซึ่งเป็นพิกัด y ของจุดที่เส้นตรงนั้นตัดผ่านแกน y ถ้าหากให้ค่า x = 0 เราจะเห็นสมการนี้อยู่ในรูปแบบ yb

รูปแบบจุดและความชัน

y - y_1 = m \cdot (x - x_1) \!

เมื่อ m คือความชันของเส้นตรงและ (x1y1) คือจุดใดๆ บนเส้นตรงนั้น ซึ่งสามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนได้โดยง่าย รูปแบบจุดและความชันแสดงให้เห็นถึงระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรงนั้นในแนวแกน x และแกน y โดยมีจุด (x1y1) เป็นจุดยืน

ในบางโอกาสเราอาจเห็นรูปแบบจุดและความชันอยู่ในรูปแบบนี้

\frac{y - y_1}{x - x_1} = m

แต่อย่างไรก็ตาม ถ้าหาก xx1 สมการนี้จะไม่มีความหมาย

รูปแบบระยะตัดแกน

\frac{x}{E} + \frac{y}{F} = 1

เมื่อ E และ F ต้องไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่ กราฟของสมการนี้จะมีระยะตัดแกน x เท่ากับ E และระยะตัดแกน y เท่ากับ F รูปแบบระยะตัดแกนสามารถแปลงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้โดยกำหนดให้ A = 1/EB = 1/F และ C= 1

[แก้]รูปแบบจุดสองจุด

y - k = \frac{q - k}{p - h} (x - h)

เมื่อ p ≠ h กราฟนี้จะเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (hk) และจุด (pq) โดยมีความชันเท่ากับ m = (q − k) / (p − h) รูปแบบจุดสองจุดสามารถแปลงให้เป็นรูปแบบจุดและความชันได้ โดยการคำนวณหาค่าที่เจาะจงของความชันมาแทนที่ตำแหน่งของ m

รูปแบบอิงพารามิเตอร์

\begin{align} x & = Tt + U \\ y & = Vt + W \end{align}

รูปแบบนี้เป็นสมการหลายชั้น (simultaneous equations) สองสมการในพจน์ของตัวแปรพารามิเตอร์ t ที่มีความชัน mV/T โดยมีระยะตัดแกน x อยู่ที่ (VUWT) / V และระยะตัดแกน y อยู่ที่ (WTVU) / T

สมการรูปแบบนี้มีความสัมพันธ์กับรูปแบบจุดสองจุด เมื่อ TphUhVqk, และ Wk จะได้

\begin{align} x & = (p - h)t + h \\ y & = (q - k)t + k \end{align}

ซึ่งในกรณีนี้ค่าของ t จะแปรผันตั้งแต่ 0 ที่จุด (hk) ไปยัง 1 ที่จุด (pq) ค่าของ t ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 ทำให้เกิดการประมาณค่าในช่วง (interpolation) ส่วนค่าอื่นของ t จะทำให้เกิดการประมาณค่านอกช่วง(extrapolation)

รูปแบบเส้นแนวฉาก

y \sin \phi + x \cos \phi - p = 0 \!

เมื่อ φ คือมุมเอียงของเส้นแนวฉาก และ p คือความยาวของเส้นแนวฉาก เส้นแนวฉากนี้คือระยะทางของส่วนของเส้นตรงที่สั้นที่สุด ที่เชื่อมระหว่างกราฟเส้นตรงของสมการเชิงเส้นกับจุดกำเนิด รูปแบบเส้นแนวฉากสามารถแปลงจากรูปแบบทั่วไปได้โดยหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย \sqrt{A^2 + B^2} และถ้าหาก C > 0 ให้คูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย −1 เพื่อให้ค่าคงตัวตัวสุดท้ายติดลบ รูปแบบนี้เรียกว่า รูปแบบมาตรฐานเฮสส์ ซึ่งตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแด่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ลุดวิก ออตโต เฮสส์ (Ludwig Otto Hesse)

กรณีพิเศษ

y = F \!

สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ A = 0 และ B = 1 หรือในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนเมื่อความชัน m = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวนอนโดยที่มีระยะตัดแกน y เท่ากับ F ถ้า F ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน x แต่ถ้า F = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน x เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน

x = E \!

สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ A = 1 และ B = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวดิ่งโดยที่มีระยะตัดแกน x เท่ากับ E ส่วนความชันนั้นไม่นิยาม ถ้า E ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน y แต่ถ้า E = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน y เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน

y = y \! และ x = x \!

ในกรณีนี้ทั้งตัวแปรและและค่าคงตัวทั้งหมดถูกตัดออกไป เหลือไว้เพียงประพจน์ที่เป็นจริงอย่างชัดเจน สมการเหล่านี้จะเรียกว่าเป็นเอกลักษณ์ และไม่จำเป็นที่จะพิจารณาในรูปแบบกราฟ (เนื่องจากหมายถึงจุดทุกจุดบนระนาบ xy) ดังตัวอย่าง 2x + 4y = 2(x + 2y) นิพจน์ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับนั้นเท่ากันเสมอ ไม่ว่าค่าของ x และ y จะเป็นค่าใด

โปรดสังเกตว่าการปรับเปลี่ยนทางพีชคณิต อาจทำให้ประพจน์เกิดความเป็นเท็จ อาทิ 1 = 0 ซึ่งเราจะเรียกสมการนั้นว่าเป็น สมการที่ขัดแย้งกัน หมายความว่า ไม่ว่าค่าของ x และ y จะเป็นค่าใด สมการก็ยังเป็นเท็จอยู่เสมอและไม่สามารถวาดกราฟได้ ดังเช่นสมการนี้ 3x + 2 = 3x − 5

About these ads

Comments on: "สมการเชิงเส้นสองตัวแปร" (1)

  1. “ ปิงและปองมีหนังสือรวมกัน 9 เล่ม ” นักศึกษาจะบอกได้แน่นอน
    หรือไม่ว่าปิงมีหนังสือกี่เล่ม และปองมีหนังสือกี่เล่ม
    ถ้าให้ x แทนจำนวนหนังสือของปิง
    y แทนจำนวนหนังสือของปอง
    เราเขียนข้อความข้างต้นเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า x + y = 9
    จะเห็นว่าคำตอบของสมการนี้มีหลายคำตอบ ได้แก่ (1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2) และ (8,1) ดังนั้นนักศึกษาจะไม่ทราบแน่นอนว่าปิงมีหนังสือกี่เล่ม และปองมีหนังสือ กี่เล่ม
    ถ้านักศึกษาทราบข้อมูลเพิ่มขึ้นอีกว่า “ ปองมีหนังสือน้อยกว่าปิง 5 เล่ม ” นักศึกษาจะทราบแน่นอนหรือไม่ว่า
    ปิงและปองมีหนังสือคนละกี่เล่ม เราเขียนข้อความ “ ปองมีนหนังสือน้อยกว่าปิง 5 เล่ม เป็นประโยคสัญลักษณ์

    ได้ว่า x – y = 5 คำตอบของสมการนี้มีหลายคำตอบ ได้แก่ (6,1), (7,2), (8,3), (9,4), (10,5), (11,6)
    เมื่อพิจารณาคำตอบของสมการ x + y = 9 และ x – y = 5 จะเห็นว่า (7,2) เป็นคำตอบเดียวที่สอดคล้อง
    กับสมการทั้งสองสมการ ดังนั้นเมื่อทราบข้อมูลเพิ่มขึ้น นักศึกษาจะทราบแน่นอนว่าปิงมีหนังสือ 7 เล่ม
    และปองมีหนังสือ 2 เล่มต่อไปเราจะเรียก x + y = 9
    x – y = 5
    ว่า ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร และเรียก (7,2) ว่า คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
    เมื่อเขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x + y = 9 และ x – y = 5 บนแกนคู่เดียวกันนักศึกษา
    จะพบว่ากราฟทั้งสองเส้นตัดกันที่จุด (7,2)

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

Tag Cloud

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: